初等积分法求解常微分方程笔记

初等积分法即把微分方程的求解问题化为积分问题，用有限次求积分的方法求出微分方程的解。

对于一般的一阶常微分方程，并没有通用的初等解法。但在数学家的不断努力下，还是有大量针对特定类型方程求解的一般方法被提了出来，在这里简单的总结记录一下以供自己查阅。

变量分离方程

有着以下形式的方程称为变量分离方程

$$
\frac{dy}{dx}=f(x)\varphi(y)
$$

如果 $\varphi(y)\not= 0$，则方程可以改写为

$$
\frac{dy}{\varphi(y)}=f(x)dx
$$

这样，变量就被“分离”开来了。对上述方程两边积分，得到通积分

$$
\int\frac{dy}{\varphi(y)}=\int f(x)dx+C
$$

其中 $C$ 为任意常数，$\displaystyle{\int\frac{dy}{\varphi(y)}}$ 、$\displaystyle{\int f(x)dx}$ 分别理解为 $\dfrac{1}{\varphi(y)}$ 、$f(x)$ 的原函数。可以验证该通积分即为原方程的通解

由于上式不适合 $\varphi(y)=0$ 时的情形，因此还必须寻求 $\varphi(y)=0$ 的解 $y_0$ ，当 $y=y_0$ 不包括在上述通解中时，必须补上特解 $y=y_0$

齐次方程

如果微分方程

$$
P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0
$$

可以改写成如下形式：

$$
\frac{dy}{dx}=\Phi(\frac{y}{x})
$$

则称其为齐次方程

对于改写后的齐次方程，令 $u=\dfrac{y}{x}$ ，即 $y=ux$ ，则

$$
\frac{dy}{dx}=x\frac{du}{dx}+u
$$

代入原改写后的齐次方程，得

$$
x\frac{du}{dx}+u=\Phi(u)
$$

可以整理为

$$
\frac{du}{dx}=\frac{\Phi(u)-u}{x}
$$

这是一个变量分离方程，可以按变量分离方程的求解步骤求解，求解后代回原变量即可得到原方程的解。

除了上面提到的类型，有些方程经过简单的变换可以化为齐次方程来求解，这里不再过多介绍。

一阶线性方程

有着如下形式的方程称为一阶线性微分方程

$$
\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)
$$

其中 $p(x)$ ，$q(x)$ 是区间 $I$ 上的连续函数，而称方程

$$
\frac{dy}{dx}+p(x)y=0
$$

为相应的一阶齐次线性微分方程。如果 $q(x)\not\equiv 0$，也称上述“一阶线性微分方程”为一阶非齐次线性微分方程

一阶齐次线性微分方程通解

一阶齐次线性微分方程

$$
\frac{dy}{dx}+p(x)y=0
$$

是一个变量分离方程。 $y=0$ 是它的一个解，如果 $y\not= 0$ ，则方程可以改写为

$$
\frac{dy}{y}+p(x)dx=0
$$

其解为

$$
ln|y|+\int p{x}dx=C_1,\quad C_1是任意常数
$$

它可以改写为

$$
y=Ce^{-\int p(x)dx}
$$

其中 $C=\pm e^{C_1} \not= 0$ 是任意常数。不考虑 $C$ 和 $C_1$ 之间关系的话， $C$ 可以取任意数。如果允许 $C=0$ ，则特解 $y=0$ 就在上述方程定义的曲线族中。由此可知原方程的通解为：

$$
y=\phi_c(x):=Ce^{-\int p(x)dx}
$$

常数变易法

常数变易法是一种求解一阶非齐次线性微分方程通解的方法，由法国数学家 Lagrange（拉格朗日）在 1774 年提出，具体求解过程如下：

先求出对应一阶齐次线性微分方程的通解，再设所求的一阶非齐次线性微分方程有形如

$$
y=C(x)e^{-\int p(x)dx}
$$

的解，其中 $C(x)$ 为待定函数。将上式代入所求方程，可得

$$
C’(x)e^{-\int p(x)dx}=q(x)
$$

从而得

$$
C(x)=\int q(x)e^{\int p(x)dx}dx+C
$$

其中 $C$ 是任意常数。由此知道，前面所设通解中的 $C(x)$ 取上式时，所设的通解满足原一阶非齐次线性微分方程。所以，一阶非齐次线性微分方程的通解为

$$
y=e^{-\int p(x)dx}\left(C+\int q(x)e^{\int p(x)dx}dx\right)
$$

其中 $C$ 为任意常数，上式也可写成

$$
y=Ce^{-\int p(x)dx}+e^{-\int p(x)dx}\int q(x)e^{\int p(x)dx}dx
$$

它由两部分组成：

$$
y=\phi_c(x)+y_p(x)
$$

其中 $\phi_c(x)$ 是一阶齐次线性微分方程的通解，而

$$
y_p(x)=e^{-\int p(x)dx}\int q(x)e^{\int p(x)dx}dx
$$

是原一阶非齐次线性微分方程的一个特解（取 $C=0$ ）

Bernoulli 方程

Bernoulli（伯努利）方程和 Riccati（里卡蒂）方程是两类形式最简单的非线性方程。其中 Bernoulli 方程是可以求解的，Riccati 方程一般不能用初等积分法求解，这里只介绍 Bernoulli 方程

形如

$$
\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)y^n
$$

的方程称为 Bernoulli 方程，其中 $n$ 为常数，且 $n\not=0$ 和 $1$ 。方程两边同乘 $(1-n)y^{-n}$ ，得

$$
(1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx}+(1-n)y^{1-n}p(x)=(1-n)q(x)
$$

再令 $z=y^{1-n}$ ，就有

$$
\frac{dz}{dz}+(1-n)p(x)z=(1-n)q(x)
$$

这是关于未知函数 $z$ 的一阶线性方程，由前面一阶线性方程的求解步骤可以求得 Bernoulli 方程的通解为

$$
y^{1-n}=e^{-(1-n)\int p(x)dx}\left(C+(1-n)\int q(x)e^{(1-n)\int p(x)dx}dx\right)
$$

其中 $C$ 为任意常数。当 $n>0$ 时， $y=0$ 也是 Bernoulli 方程的解

恰当方程与积分因子法

恰当方程

考虑对称形式的一阶微分方程

$$
P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0
$$

如果存在一个可微函数 $\Phi(x,y)$ ，使得它的全微分为

$$
d\Phi(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy
$$

则称其为恰当方程或全微分方程，$\Phi(x,y)$称作是一个原函数。由该定义，原方程为恰当方程当且仅当有一个可微函数 $\Phi(x,y)$ 满足

$$
\frac{\partial\Phi}{\partial x}=P(x,y),\quad \frac{\partial\Phi}{\partial y}=Q(x,y)
$$

此时可以很容易证明 $\Phi(x,y)=C$ 就是原方程的通积分，其中 $C$ 是任意常数。

由此可证明如下定理：设函数 $P(x,y)$ 和 $Q(x,y)$ 在区域

$$
R:\alpha < x <\beta,\quad \gamma < y <\delta
$$

上连续，且有连续的一阶偏导数 $\dfrac{\partial P}{\partial y}$ 与 $\dfrac{\partial Q}{\partial x}$ ，则原微分方程是恰当方程的充要条件为恒等式

$$
\frac{\partial P}{\partial y}(x,y)\equiv \frac{\partial Q}{\partial x}(x,y)
$$

在 $R$ 内成立。此时，原方程的通积分为

$$
\int^x_{x_0} P(x,y)dx+\int^y_{y_0} Q(x_0,y)dy=C
$$

或

$$
\int^x_{x_0} P(x,y_0)dx+\int^y_{y_0} Q(x,y)dy=C
$$

其中 $(x_0,y_0)$ 是 $R$ 中任意取定的一点。

积分因子法

还是针对上面提到的对称形式一阶微分方程，假设 $P$ 和 $Q$ 有连续的一阶偏导数，当它不是恰当方程时。如果存在连续可微函数 $\mu=\mu(x,y)\not=0$，使得

$$
\mu(x,y)P(x,y)dx+\mu(x,y)Q(x,y)dy=0
$$

是恰当方程，亦即

$$
\frac{\partial(\mu P)}{\partial y}=\frac{\partial(\mu Q)}{\partial x}
$$

则称 $\mu(x,y)$ 是原方程的积分因子。显然，找到了积分因子后，我们就能把原方程变为恰当方程来求解，关键在于如何找到积分因子。

事实上寻求积分因子等同于求一阶偏微分方程
$$
Q\frac{\partial \mu}{\partial x}-P\frac{\partial \mu}{\partial y}=\left(\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}\right) \mu
$$

理论上它的解是存在的，然而对它的求解又会归结到对原方程的求解。因此，一般来说，先求出积分因子的表达式再去求解原方程是行不通的。但在若干特殊情形中，上式的求解还是比较容易的：

原方程有一个只依赖于 $x$ 的积分因子的充要条件是

$$
\cfrac{\cfrac{\partial P}{\partial y}-\cfrac{\partial Q}{\partial x}}{Q}:=G(x)
$$

只依赖于 $x$，而与 $y$ 无关。此时积分因子为 $\mu=e^{\int G(x)dx}$

原方程有一个只依赖于 $y$ 的积分因子的充要条件是

$$
\cfrac{\cfrac{\partial P}{\partial y}-\cfrac{\partial Q}{\partial x}}{-P}:=H(y)
$$

只依赖于 $y$，而与 $x$ 无关。此时积分因子为 $\mu=e^{\int H(y)dy}$

另外还有分组求积分因子法之类的方法，这里不再过多记录。

隐式微分方程

一阶微分方程的一般形式为

$$
F(x,y,y’)=0
$$

如果能够解出导数 $y’=f(x,y)$，则可以根据 $f$ 的具体形式，由前面介绍的方法来求解

可解出y（或x）的方程——微分法

考虑可解出 $y$ 的方程

$$
y=f(x,\frac{dy}{dx})
$$

令 $p=\dfrac{dy}{dx}$ ，则方程变为 $y=f(x,p)$

两边对 $x$ 求导，并将 $p=\dfrac{dy}{dx}$ 代入，得

$$
p=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial p}\cdot\frac{dp}{dx}
$$

这是关于 $x,p$ 的一阶微分方程，导数 $\dfrac{dp}{dx}$ 已解出。若求得通积分

$$
\Phi(x,p,C)=0
$$

则原方程有通积分

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\Phi(x,p,C)=0, \\
y=f(x,p), \\
\end{array}
\right.
$$

其中 $p$ 是参数，$C$ 为任意常数

对于可解出 $x$ 的方程
$$
x=f(y,\frac{dy}{dx})
$$
求解方法类似。令 $\dfrac{dy}{dx}=p$ ，则方程变为 $x=f(y,p)$ ，两端对 $y$ 求导，将 $\dfrac{dx}{dy}=\dfrac{1}{p}$ 代入，得到一一阶微分方程，若求得通积分
$$
\Phi(y,p,C)=0
$$
则原方程通积分为
$$
\left\{
\begin{array}{l}
x=f(y,p), \\
\Phi(y,p,C)=0, \\
\end{array}
\right.
$$

不显含x（或y）的方程——参数法

考虑不显含 $x$ 的微分方程
$$
F\left(y,\frac{dy}{dx}\right)=0
$$
令 $p=y’$，则方程变为
$$
F(y,p)=0
$$
作为 $y,p$ 之间的联系，该方程一般代表 $(y,p)$ 平面上的若干条曲线。则可设出原方程的一个参数表示
$$
\left\{
\begin{array}{l}
y=g(t), \\
p=h(t), \\
\end{array}
\right.
$$
又由于
$$
dx=\frac{1}{p}dy=\frac{g’(t)}{h(t)}dt
$$
积分得
$$
x=\int\frac{g’(t)}{h(t)}dt+C
$$
从而原方程有通解
$$
\left\{
\begin{array}{l}
y=g(t), \\
x=\displaystyle{\int\frac{g’(t)}{h(t)}+C,} \\
\end{array}
\right.
$$
其中 $t$ 为参数，$C$ 为任意常数

对于不显含 $y$ 的方程
$$
F(x,y’)=0
$$
解法类似。令 $p=y’$ ,则方程变为 $F(x,p)=0$ ,设
$$
x=\phi(t),\quad p=\psi(t)
$$
代入 $dy=pdx$ ，积分即可解得原方程通解为
$$
\left\{
\begin{array}{l}
x=\phi(t), \\
y=\displaystyle{\int\psi(t)\phi’(t)dt+C,} \\
\end{array}
\right.
$$

一般情形——参数法

考虑一阶隐式微分方程
$$
F(x,y,y’)=0
$$
令 $p=y’$ ，则方程可以写成
$$
F(x,y,p)=0
$$
它在 $(x,y,p)$ 空间中表示若干张曲面，设
$$
x=f(u,v),\quad y=g(u,v),\quad p=h(u,v)
$$
是其中一张曲面，由 $dy=pdx$ ，得
$$
g’_udu+g’_vdv=h(f’_udu+f’_vdv)
$$
它可以写成如下形式
$$
M(u,v)du+N(u,v)dv=0
$$
这是一阶显式微分方程，其中
$$
\begin{array}{l}
M(u,v)=g’_u(u,v)-h(u,v)f’_u(u,v), \\
N(u,v)=g’_v(u,v)-h(u,v)f’_v(u,v),
\end{array}
$$
如果能够求出它的通解
$$
v=Q(u,C)
$$
则原方程的通解为
$$
\left\{
\begin{array}{l}
x=f(u,Q(u,C)), \\
y=g(u,Q(u,C)), \\
\end{array}
\right.
$$
其中 $u$ 是参变量， $C$ 是任意常数。另外，如果除以上通解，显式一阶微分方程还有特解 $v=S(u)$ ，则原方程还有特解
$$
\left\{
\begin{array}{l}
x=f(u,S(u)), \\
y=g(u,S(u)), \\
\end{array}
\right.
$$

可降阶的高阶方程

这里只简单介绍三类高阶微分方程的解法，基本思路都是降低高阶微分方程的阶数

最简单的n阶微分方程

$$
\frac{d^ny}{dx^n}=f(x)
$$

对于此类方程，直接求积分n次即可求解

不显含y的微分方程

$$
F\left(x,\frac{d^ky}{dx^k},\dots,\frac{d^ny}{dx^n}\right)=0 \quad (k\ge 1)
$$

令 $\dfrac{d^ky}{dx^k}=z$ ，则可将方程降低 $k$ 阶，此时方程变为
$$
F\left(x,z,\dots,\frac{d^{n-k}z}{dx^{n-k}}\right)=0
$$

不显含x的微分方程

$$
F\left(y,\frac{dy}{dx},\dots,\frac{d^ny}{dx^n}\right)=0
$$

令 $z=\dfrac{dy}{dx}$ ，则有恒等式
$$
\left\{
\begin{array}{l}
\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{dz}{dx}=\dfrac{dz}{dy}\dfrac{dy}{dx}=z\dfrac{dz}{dy}, \\
\dfrac{d^3y}{dx^3}=\dfrac{d}{dx}\left(z\dfrac{dz}{dy}\right)=z^2\dfrac{d^2z}{dy^2}+z\left(\dfrac{dz}{dy}\right)^2, \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \\
\dfrac{d^ny}{dx^n}=\phi\left(z,\dfrac{dz}{dy},dots,\dfrac{d^{n-1}z}{dy^{n-1}}\right). \\
\end{array}
\right.
$$
将它们代入原方程就得到一个 $n-1$ 阶微分方程
$$
F_1\left(y,z,\frac{dz}{dy},\dots,\frac{d^{n-1}z}{dy^{n-1}}\right)=0
$$
其中 $z$ 是未知函数，而 $y$ 是自变量